样本量估计

估计样本含量的意义及条件

首先总要考虑样本含量（或叫样本大小）问题。样本太小，使应有的差别不能显示出来，难以获得正确的研究结果，结论也缺乏充分的依据；但样本太大，会增加实际工作中的困难，对实验条件的严格控制也不易做到，并且造成不必要的浪费。所以这里所说的样本含量估计，系指在保证研究结论具有一定可靠性的条件下，确定最少的观察或实验例数。

但是，样本含量又是个比较复杂的问题。要讲清在各种情况下估计样本含量的方法和原理，那是很繁杂的。而且，不同的参考书上介绍的计算公式和工具表往往不一样，以致同一问题所得的结果也可能有出入。所以，不论按哪种公式或工具表求得的结果，也只能是个近似的估计数。

估计样本含量，必须事先明确一些条件与要求：

（一）根据研究目的与资料性质，要先知道一些数据。例如要比较几组计数资料，先要知道百分数或率；要比较几组计量资料，先要知道平均数及标准差。这些数据可从以往的实践，预备试验的结果、兄弟单位的经验或文献资料里得来。

（二）确定容许误差。由于抽样误差的影响，用样本指标估计总体指标常有一定的误差，因而要确定一个样本指标与总体指标相差所容许的限度。此值要求越小，所需例数就越多。

（三）确定把握度（1―β）。β是第二型错误的概率；而1―β的意思是：如果两组确有差别，则在每100次实验中平均能发现出差别来的概率。把握度可用小数（或百分数）表示，一般取0.99、0.95、0.90、0.80、0.50。要求把握度越高，则所需例数直多。

（四）确定显著性水平，即第一型错误的概率（α）。这就是希望在α=0.05的水准上发现差别，还是希望在α=0.01的水准上发现差别。α越少，所需例数越多。

此外，估计样本含量时还应当根据专业知识确定用单侧检验或双侧检验。同一实验，若既可用单侧检验又可用双侧检验，则前者所需例数要少些。

二、用计算法估计样本含量

我们运用前面学过的某些假设检验公式，就可以进行样本含量的计算。下面仅举两例略作介绍。这里的公式仅适用于α=0.05，1―β=0.50。而且都是双侧检验。

　　（一）两个率比较时样本含量的计算　令n为每组所需例数，P 1 、P 2 为已知的两个率（用小数表示），P为合并的率，当设两组例数相等时，即P=（P 1 +P 2 ）/2。q=1=p，则

　　（11.1）

例11.5　据某院初步观察，用甲、乙两种药物治疗慢性气管炎患者，近控率甲药为45%，乙药为25%。现拟进一步试验，问每组需观察多少例，才可能在α=0.05的水准上发现两种疗法近控率有显著相差？

　　本例P 1 =0.45,P 2 =0.25,P=(0.45+0.25)÷2=0.25,q=1-0.35=0.65,代入式11.1

每组需观察46人，两组共观察92人，注意：例数问题不同于一般数学计算中的四舍五入，凡是有小数的值，应一律取稍大于它的正整数，如本例45.5取46,若为45.1也应取46。

　　（二）个别比较t检验样本含量的计算　令n为所需样本数，S为差数的标准差，X为差数的均数，t 0.05O 为t值表上相当于P=0.05的t值，4为n足够大时t 2 0.05 =1.96 2 的数，则

大样本　　 　　　（11.2）

小样本　　 　（11.3）

　　例11.6　用某药治疗 胃及十二指肠溃疡 病人，服药四周后胃镜复查时，患者溃疡面平均缩小0.2cm 2 ，标准差为0.4cm 2 ，假定该药确能使溃疡面缩小或愈合，问需多少病人作疗效观察才能在α=0.05的水准上发出用药前后相差显著？

本例X＝0.2，S＝0.4，先代入式（11.2)

　　由于n<30，故用式（11.3）重算。当n＝16，ν＝16－1＝15，t 0.05 =2.131，

　　当n＝19（略大于18.16），ν＝19－1＝18，t 0.05 =2.101

　　当n＝18，ν =18-1=17，t 0.05 =2.110

故至少需用18人作疗效观察。

三、用查表法估计样本含量

当要求平均有80%、90%以上的机会能发出相差显著或非常显著时，计算公式比较复杂，数理统计上已编制成工具表，一查便得，附表19只是其中的一部分。我们仍以前面的例题来介绍这些表的用法。

（一）两个率比较时所需样本含量　对于两个率的比较，单侧检验可查附表19（1），双侧检验查附表19（2）

　　仍用例11.5来说明。本例P 1 =45%，P 2 =25%，δ=45%-25%=20%，设α=0.05，把握度为0.80。如果已知甲药疗效不可能低于乙药，可用单侧检验，查附表19（1）。我们从“较小率”栏中找到25横行，再从上方找到δ=20直行，基相交处，读上行数字得69，即每组最少需要69例，两组共需138例。

如果两个率（或百分数）都超过50%，怎样使用这个表呢？假定甲组阳性率是80%，乙组阳性率是65%，两组阳性率相差15%。这时先求两组的阴性率，于是甲组阴性率为20%，乙组阴性率为35%，两组阴性率相差仍为15%。若用双侧检验，我们查附表19（2），从“较小率”栏找到20横行，再从上方找到δ=15直行，其相交处上行数字为135，即每组需检查135例（两组共270例）将有80%的机会在α=0.05的水准上发现两组阳性率相差显著。

若表中查不到题中的“较小率”及δ，可用最接近的值或内插法求n，但宁可使n偏大，以免估计的样本含量偏少。

（二）个别比较t检验所需的样本含量　这是配对比较，应查附表20。使用该表时，先要求出差数的总体均数μ与总体标准差σ之比，即δ=μ/σ，当μ与σ未知时，可分别用X与S作为估计值。

仍用例11.6来说明，本例X=0.2,S=0.40,故δ=μ/σ=0.2/0.4=0.5。若设α=0.05,1―β=0.90,用双侧检验，查附表得20，得n=44，即需观察44例病人。若设α=0.05，1―β=0.50，则n=18,同计算法结果一致。

　　（三）两个均数比较所需样本含量　应查附表21。先要求出两总体均数之差与总体标准差这比，即δ=（μ 1 -μ2 ）/σ。若μ 1 及μ 2 未知时，可分别以X 1 及X 2 估计之；σ未知时，可以合并标准差S估计之。

例11.7　某职业病防治所用两种疗法治疗矽肺患者，一个疗程后，患者血清粘蛋白下降值甲疗法平均为2.6（mg%）,乙疗法平均为2.0（mg%，）两种疗法下降值之合并标准差为1.3（mg%）。若发现两组疗效相差显著，每组至少应观察多少病人？

　　本例X 1 =2.6,X ２ =2.0,S=1.3,故δ=（μ 1 -μ 2 ）/σ=(2.6-2.0)/1.3=0.46。若设α=0.05,1―β=0.50，用双侧检验，查附表21,δ=0.46查不到。在这种情况下，可用邻近而略小的δ值代替，或用内插法估计。本例若查δ=0.45，得n=39，即每组需要39例，两组共需78例。若用内插法计算，当δ=0.45时所需例数是39，δ=0.50时所需例数是32，所以δ=0.46时所需例数是：

答案是：每组需要至少观察38例，两组共需观察76例。

常用的样本量计算方法有：
A 两独立组比较（率／计数资料）
B 多独立组比较（率／计数资料）
C 两独立组比较（均数／计量资料）
D 多独立组比较（均数／计量资料）
E 两配对组比较（率／计数资料）
F 两配对组比较／单组前后比较（均值／计量资料）
G 等效性／非劣性试验：两组率／计数资料的比较
H 等效性／非劣性试验：两组计量资料的比较
I 诊断试验
J 横断面研究的样本例数（0-1变量总体概率估计）
K 横断面研究的样本例数（均值／计量资料）
好，下面逐一为亲们介绍（仍然是不讲理论和出处，只讲应用啊）。

A 两独立组比较（率／计数资料）
【例】 某课题的研究目的是比较两种药物治疗乙型肝炎后表面抗原HBsAg的改善情况（双侧检验），问两组各需要乙肝患者多少名？拟规定：乙肝患者随机分为2组，两组样本量比：甲药组／乙药组=0.55／0.45；预试验测得甲药的转阴率为60％，乙药的转阴率为75％。
公式：
N={Zα／2［（2P均）（1-P?均）（Q1-1+Q2-1 ）］0.5 + Zβ［P1Q1-1（1-P1）+ P2Q2-1（1-P2）］0.5}2／（P1-P2）2

α=0.05时的λ值表

⑸ SIN-1：反正弦函数，若用Excel函数计算0.5的反正弦值：=ASIN（0.5）
⑹ Pmax、Pmin：分别为最大率和最小率，根据预试验或查文献来估计。本例Pmax=0.3778，Pmin=0.1875。代入计算得样本例数n≈138。

C 两独立组比较（均数／计量资料）
【例】 某课题的研究目的是欲比较黄芪与生血散对粒细胞减少症的疗效，两组样本比例：Q1／Q2=0.5／0.5。问每组需要观察多少例？预试验如下：一个研究组将随机抽取的粒细胞减少症的病例平均分为两组，分别用黄芪和生血散治疗后测得，黄芪组平均增加粒细胞1×109 个／L，生血散组平均增加粒细胞2×109 个／L，合并标准差为σ=1.8×109 个／L。
公式：两组均数比较样本例数公式
N=［Zα／2 + Zβ］ σ／δ］2（Q1-1+ Q2-1）
参数：
⑴ Zα／2：α=0.05，Zα=1.960 ［ Excel函数计算：Zα／2=NORMSINV（1-0.05／2） ］
⑵ Zβ：β=0.20，Zβ=0.842 ［ Excel函数计算：Zβ=NORMSINV（1-0.20） ］
⑶ σ： σ=1.8×109 注：合并标准差σ= ［（S12+S22）／2］ 0.5
⑷ δ：两组差值，见前述预试验，δ=（2×109）-（1×109）=1×109
⑸ Q1、Q2：见前述预试验，Q1=0.5、Q2=0.5
代入可得样本例数N≈80。

D 多独立组比较（均数／计量资料）
【例】 某课题的研究目的是比较三种方案治疗血红蛋白不满100g／L的婴幼儿贫血患者后，血红蛋白增的变化有无差异，问三组各需要观察多少例？预试验如下：一个研究组将随机抽取的血红蛋白不满100g／L的婴幼儿贫血患者平均分为三组，经各治疗方案治疗后血红蛋白增加的均数Xi分别为18.5g／L、13.2g／L、10.4g／L，标准差Si为11.8g／L、13.4g／L、9.3g／L。
公式：多个样本均数比较样本例数公式
n = Ψ2（∑（Si2）／K）／［∑（Xi均 - X均）2／（K-1）］
参数：
⑴ α：α=0.05
⑵ β：β=0.10
⑶ K：为组数，本例题K=3。
⑷ Ψ：本例K=3，自由度V1=K-1=2；自由度V2=N-1，N未知，可取最大∞，查下表得：
Ψα，β，K-1，∞=2.52。
⑸ X均i、Si：分别为第i组的均数（X1=18.5、X2=…）和标准差（S1=11.8，S2=…）的估计值，由预试验或文献来估计。
⑹ X均的确定：X均=（X1+X2+X3）／K=（18.5+13.2+10.4）／3=14.0
代入便可计算求出样本例数：n≈51

α=0.05，β=0.10时的Ψ值表

E 两配对组比较（率／计数资料）
【例】 用A、B两种方法检查血样中的HIV，先用A法检验，再用B法检验。比较两法的差异，需要多少样本量？预试验结果如下表：A法B 法均为阳性+为a例，均为阴性-的为d例，分别为阳、阴性的为d或c例。

公式：两配对组（率／计数资料）比较公式
n=［Zα／2（2πc）0.5+ Zβ（2π+-π-+）0.5］2／（π+- -π-+）2
参数：
⑴ Zα／2：α=0.05，Zα／2=1.960
⑵ Zβ：β=0.10，Zβ=1.282
⑶ π+-：π+-=b／（a+b）
⑷ π-+：π-+=c／（a+c）
⑸ πc： （π+-+π-+）／2
代入可得样本例数。

F 两配对组比较／单组前后比较（均值／计量资料）
【例】 某降压药临床试验，观测病人服药前后的血压值，以判断降压效果。求样本量。预试验知：病人用药前后的血压差值观测的标准差S=8.3mmHg，观测比较的阈值δ为2mmHg。
公式：
n = ［（Zα／2+Zβ）S／δ］2
参数：
⑴ Zα／2：α=0.05，Zα／2=1.960
⑵ Zβ：β=0.10，Zβ=1.282
⑶ S：标准差。由文献或预调查的资料来估计。本例为S=8.3。
⑷ δ：判断阈值或比较界值或容许误差，一般可考虑δ=（0.1～0.5）S，本例取2。
代入计算得：n=180。
（注：δ：判断阈值，其含义大致同下面的等效性检验中的定义。亲可这样理解：如果想比较的更精细准确一些，其比较的δ：判断阈值应该小一些，对应的样本量就大一些（δ在计算样本量的分母上）


G 等效性／非劣性试验：两组率／计数资料的比较
【例】 某新药进行Ⅱ期临床试验，考察其治愈率不差于经典对照药，按1／1设试验组和对照组，求样本量。预试验知：两组治愈率均约0.80。
公式：
非劣性试验：n= 2×（Uα+Uβ）2×P（1-P）／δ2
等效性试验：n = 2×（Uα+Uβ／2）2×P（1-P）／δ2
（注：等效性试验包括高低两个方向的单侧检验，但采用Uβ／2而非Uα／2）
特别地，临床常用α=0.05，β=0.20，两组例数比K=Q1／Q2=1时，亲可用下述简化公式：
非劣性试验：n= 12.365×P（1-P）／δ2
等效性试验：n = 17.127×P（1-P）／δ2
参数：
⑴ α=0.05
⑵ β=0.20
⑶ P=0.80（P为两组合并率或两组平均率，约为两组率的均值或合并计算后的均值）
⑷ δ（检验界值）=0.15（一般由临床专业决定，可取两组平均率的1／3～1／10）
⑸ Q1、Q2=0.5（两组例数比0.5／0.5=1）
代入可得每组样本例数：n=12.365×0.8（1-0.8）／0.152 =88
如果：两组例数比K=Q1／Q2≠1时，则n1≈n（1+K）／2；n2≈n（1+K）／2K


H 等效性／非劣性试验：两组计量资料的比较
【例】 【例】 某新药进行Ⅱ期临床试验，考察其生存期不差于经典对照药，按1／1设试验组和对照组，求样本量。预试验知：两组共同标准差s=60d。
公式：
非劣性试验：n= 2×（Uα+Uβ）2×（σ／δ）2
等效性试验：n = 2×（Uα+Uβ／2）2×（σ／δ）2
（注：等效性试验包括高低两个方向的单侧检验，但采用Uβ／2而非Uα／2）
特别地，临床常用α=0.05，β=0.20，两组例数比K=Q1／Q2=1时，亲可用下述简化公式：
非劣性试验：n= 12.365×（s／δ）2
等效性试验：n = 17.127×（s／δ）2
参数：
⑴ α=0.05
⑵ β=0.20
⑶ σ = 60 （合并标准差，σ= ［（S12+S22）／2］ 0.5。近似估算甚至可取两组标准差的几何均值（S1×S2）0.5。
注：标准差S：通常指样本的标准差，Excel中表述为标准偏差SD，其函数计算：=STDEV（），其计算公式为SD=［∑（Xi-X均）2）／（n-1）］0.5。 亲们不要和总体的标准差弄混啊（总体的标准差公式里将n-1换作n），当然弄混也无大事，反正样本量计算就一参考值，有点误差木什么大不了。
⑷ δ（检验界值）=0.20（一般由临床专业决定，可取共同标准差的1／2～1／5，或取对照／参比组均值的1／5～1／10）
⑸ Q1、Q2 =0.5（两组例数比0.5／0.5=1）
代入可得每组样本例数：n=12.365×（60／20）2 =111
如果：两组例数比K=Q1／Q2≠1时，则n1≈n（1+K）／2；n2≈n（1+K）／2K


I 诊断试验
【例】 某课题的研究目的是为了解B超诊断肝硬化的临床价值，每组各需要多少例患者？预试验中：B超诊断肝硬化约为：P灵敏度=0.75；P特异度=0.55。
公式： 诊断试验的样本例数公式
n=（Uα／δ）2（1-P）P
参数：
⑴ μα：α=0.05，μα=Zα／2=1.960
⑵ μβ：β=0.20，本法计算中可不涉及μβ。
⑶ δ：判断界值。由研究者根据预试验或查文献来估计。可综合取预试验之灵敏度或特异度的1／5～1／10。一般定在0.05～0.10之间。本例取δ=0.08
⑷ P的确定：P灵敏度=0.75；P特异度=0.55
（一般，计算试验组的样本量时用P灵敏度，而计算对照组样本量时用P特异度）
代入计算求出样本例数：
将P灵敏度=0.75代入公式后可计算得n试验≈113。
将P特异度=0.55代入公式后可计算得n对照≈149。


J 横断面研究的样本例数（0-1变量总体概率估计）
【例】 为了在全国作生育率的调查，根据资料已知全国妇女现阶段峰值年龄生育率估计值，按单纯随机抽样，估计峰值年龄妇女需要多少人？预调查如下：为了在全国作生育率的抽样调查，经查阅文献获得，我国妇女现阶段峰值年龄生育率P在0.3上下波动，允许误差δ为0.015，若定检验水准为0.05，试按单纯随机抽样，估计峰值年龄妇女样本例数。
公式：
n= Zα/22×P（1-P）／δ2
参数：
⑴ Zα/2：α=0.05，Z0.05／2=1.96。
⑵ δ：δ=P-π。δ可通过预试验、查阅文献、专家意见来确定。特别地，在很多情况下：可取δ≈0.1P，Zα／2≈2，则公式可简化为n = 400（1-P）／P。
⑶ P：总体概率。通过预试验或查阅文献获得。
本例按公式计算得：样本例数n=1.962×0.3（1-0.3）／0.0152 = 3733
若按简化公式：δ定为0.1P=0.03，则样本例数n=400×（1-0.3）／0.3=933

K 横断面研究的样本例数（均值／计量资料）
【例】 研究某地区平均每月每位社区医生的家访次数，至少需要调查多少名医生？ 预调查知：一个研究组从社区医疗机构的名单中随机抽取90名社区医生进行调查，发现他们一个月内家访平均次数为4.89次，标准差为3.48次。
公式：

n= （Zα/2×V／ε）2
参数：
⑴ Zα：α=0.05，Z0.05／2=1.96。
⑵ ε：相对误差。由研究者根据问题的背景自行规定，例如可以取0.1、0.15、0.2等。本例取0.2。
⑶ V：变异系数。V = σ／μ（总体的标准差／总体均值），或用S／X均估计，其中参数由文献或预调查的资料来估计。本例为V=3.48／4.89=0.712。
代入公式后可得n=49。